Analyse : Cours de mathématiques - Première année by Arnaud Bodin et al.

By Arnaud Bodin et al.

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence scientifique. Clair, complet et convivial, c'est l'outil de travail idéal pour aborder sereinement le programme de mathématiques du supérieur. Ce tome suggest l'intégralité du cours d'analyse de première année, illustré par de nombreuses figures et des exemples traités en détails. Cet ouvrage, issu du projet Exo7, se complète par des ressources en ligne : vidéos de cours ou exercices corrigés. Vous avez en major tout pour réussir votre première année ! Chapitres du livre Les nombres réels Les suites Limites et fonctions maintains Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Développements limités Courbes paramétrées Équations différentielles Leçons de choses

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5. On considère la fonction g : → , g(x) = sin π f (x) , où f est définie à la question précédente. Déduire de l’étude de f les variations, la parité, la périodicité de g et tracer son graphe. 2. 1. Définitions Limite en un point Soit f : I → une fonction définie sur un intervalle I de . Soit x 0 ∈ Définition 7. Soit ∈ . On dit que f a pour limite ∀ε > 0 ∃δ > 0 On dit aussi que f (x) tend vers un point de I ou une extrémité de I. en x 0 si ∀x ∈ I |x − x 0 | < δ =⇒ | f (x) − | < ε lorsque x tend vers x 0 .

2. Suite monotone Théorème 2. Toute suite croissante et majorée est convergente. LES SUITES 4. THÉORÈME DE CONVERGENCE 27 Remarque. Et aussi : • Toute suite décroissante et minorée est convergente. • Une suite croissante et qui n’est pas majorée tend vers +∞. • Une suite décroissante et qui n’est pas minorée tend vers −∞. Démonstration du théorème 2. Notons A = {un |n ∈ } ⊂ . Comme la suite (un )n∈ est majorée, disons par le réel M , l’ensemble A est majoré par M , et de plus il est non vide. Donc d’après le théorème 4 du chapitre sur les réels, l’ensemble A admet une borne supérieure : notons = sup A.

Il est souvent omis et l’existence de la limite s’écrit alors juste : ∀ε > 0 ∃δ > 0 |x − x 0 | < δ =⇒ | f (x) − | < ε. • N’oubliez pas que l’ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le ∀ε avec le ∃δ : le δ dépend en général du ε. Pour marquer cette dépendance on peut écrire : ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 . . Exemple 5. • lim x→x 0 x= x 0 pour tout x 0 0, • la fonction partie entière E n’a pas de limite aux points x 0 ∈ . y y E(x) x x0 1 1 0 1 x0 x 0 1 x0 ∈ Soit f une fonction définie sur un ensemble de la forme ]a, x 0 [∪]x 0 , b[.

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