Analysis 1 by Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Dieses nunmehr in five. Auflage erscheinende Lehrbuch präsentiert in bereits bewährter Weise den Kanon der research einer Veränderlichen. Durch die zahlreichen Beispiele und mit Lösungen versehenen Übungsaufgaben eignet sich diese Darstellung vorzüglich als begleitende Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium, sowie zur Prüfungsvorbereitung für Studenten der Mathematik, Physik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften. Die vielen historischen Anmerkungen und eingestreuten Perlen der klassischen research geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.

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Damit ergibt sich schliel&lich Hiernach ist zum Beispiel 2. Stabilitiit: Da jede positive Zahl als Startwert genommen werden darf, konnen Rechenfehler und insbesondere Rundungsfehler den Ablauf des Algorithmus (5) nicht ganzlich verfiilschen, hochstens verzogern. Der Algorithmus (5) ist selbst-korrigierend. 3. Rationalitiit: Sind a und der Startwert Xo rational, so sind aIle Xn rational. Haufig erhiilt man Naherungsbriiche fUr Va, die viel kleinere Nenner haben als etwa gleich gut approximierende Dezimalbriiche (siehe obiges Beispiel).

5 Der Satz von Bolzano-Weierstral1, 51 Schlief&lich folgt aus (6*), daf& kein h' > h* ein Haufungswert ist. Mit co := Hh' - h*) gilt namlich an < h* + co = h' - co fUr fast aIle n, so daf& leo (h') hOchstens endlich viele Folgenglieder enthalt. Die Aussagen betreffend h* beweist man analog. Damit ist der Satz fUr reelle Folgen bewiesen. Bevor wir ihn fUr komplexe Foigen beweisen, bringen wir erst die 2. Fassung des Satzes. Teilfolgen. 1st (an) eine Folge komplexer Zahlen und (nk) eine streng monoton wachsende Foige von Indizes, so heif6t die durch k t-+ a nk , k E 1N, definierte Folge (ank)kElN Teilfolge von (an).

I Beweis: 1m Fall Grad 1 < Gradg ist 1 = o· 9 + 1 eine Zerlegung (4). 1m anderen Fall gehen wir von (2) und (3) mit m :::; n und bm # 0 aus. Subtrahiert man von 1 das Polyrtom anb;;,lxn-mg, erhiilt man ein Polynom it eines Grades nl < n. 1st nl ~ m, subtrahieren wir auch von it ein Vielfaches von 9 so, daf& die Differenz ein Polynom eines Grades n2 < nl wird. So fortfahrend, erhiilt man schlief&lich ein Polynom r, das einen Grad < m hat. Mit einem geeigneten Polynom q ist dann 1 - qg = r. 2 Polynome 33 Die Einzigkeit: Fur eine weitere derartige Zerlegung f = q' 9 + r' mit q' =I- q folgte (q'-q)g = r-r' und damit der Widerspruch Grad(q'-q)g = Grad(r - r') < Gradg.

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